Variável Aleatória

Muitos experimentos produzem resultados não-numéricos. Antes de analisá-los, é conveniente transformar seus resultados em números, o que é feito por meio da variável aleatória que é uma regra de associação de um valor numérico para cada ponto do espaço amostral.

Tipos de Variáveis Aleatórias

Variável Aleatória Discreta

Diz-se que X é uma variável aleatória discreta se os valores possíveis de X forem um conjunto finito ou infinito enumerável.

Exemplo:

Considerando o nascimento de duas crianças, o espaço amostral {MM, MF, FM, FF}, em que M = masculino e F = feminino.

Seja X a variável aleatória que represente o número de masculinos.

Eventos: MM MF FM FF

X: 2 1 1 0

Variável Aleatória Contínua

Diz-se que X é uma variável aleatória contínua se os valores possíveis de X forem um conjunto infinito não-enumerável.

Exemplo:

A altura dos acadêmicos da INSTITUIÇÃO X no ano de 2015 foi de 1,51 a 1,93 ou { X E R | 1,51 < X < 1,93 }.

Distribuição Discreta de Probabilidade

Uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória X é uma relação de distintos valores xi de X juntamente com as probabilidades associadas p(xi) ou P(X=xi).

Exemplo:

Considere a variável aleatória X = { 0, 1, 2 }, do exemplo anterior. Associa-se a cada valor de xi de X a sua probabilidade p(xi) ou P(X=xi).

Observe que 1/4 + 1/2 + 2/4 = 1 e que todos são positivos. A probabilidade de cada variável é determinada da mesma forma que a frequência absoluta relativa ou probabilidade de um evento pela definição clássica de probabilidade, isto é, P(Xi=xi) = Fr = Fi/n. Os números p(xi) satisfazem as seguintes condições:

p(xi) >= 0

Soma p(xi) = 1

Assim obtém-se uma “Distribuição Discreta de Probabilidade”, que fica caracterizada pelos valores da variável aleatória discreta e pela regra, ou função, que associa a cada valor de X a sua probabilidade. A função p definida acima é denominada de função de probabilidade da variável aleatória X. Uma função f(x) é uma função de probabilidade se satisfizer as seguintes condições:

Medidas Descritivas

Esperança matemática

Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2,...,xn. Seja P(xi)=P(X=xi), i=1,2,...,n. Então, o valor esperado de X (ou esperança matemática ou média), denotado por E(X) e é definido por:

para todos os valores possíveis de Xi.

Antes de dar procedimento ao cálculo da esperança, realizar-se-á um estudo resumido sobre média aritmética simples, com isso melhorando o entendimento sobre o significado da média no seu sentido usual (comum).

Pode-se dizer que a média aritmética simples representa o ponto de equilíbrio de um conjunto de dados, isto é, o valor em torno do qual os demais dados se distribuem de forma que a soma das diferenças de cada valor e a média se anula. Seja (X1,...,Xn) um conjunto de dados.

A média é dada por:

(dados amostrais)

(dados populacionais)

onde i=1,2,...N ou n

Exemplo:

Supondo que Xi seja o número de filhos dos funcionários de uma empresa, onde Xi = 0, 2, 3, 2, 4, 3, 5

X = ( 0 + 2 + 3 + 2 + 4 + 3 + 5 ) / 7 = 19 / 7 = 2,71

Sempre que se trabalha com a variável discreta para melhor interpretação, aconselha-se aproximar o valor da média de 2,71 para 3,0, isto significa que o número médio de filhos dos funcionários é igual a 3

A interpretação da esperança é análoga à da média, com exceção de que quando se trabalha com a esperança utiliza-se de dados probabilísticos. Retornar-se à definição de esperança para efetuar o cálculo.

Propriedades da Esperança Se X é uma variável aleatória e a e b são constantes, então: E(a)=a E(bX)=bE(X) E(X+a)=E(X)+a E(a+bX)=a+bE(X)

Variância e Desvio-padrão

Uma medida de dispersão para uma variável aleatória é a variância, denotada por (Sigma2) e definida por:

Lembrando que:

Para exprimir essa dispersão na mesma unidade de medida da variável aleatória, definimos o desvio-padrão, denotado por:

Referências: prof. Wesley Almeida, Escola de Negócios, PUCPR NUNES, Elvira Maria Alves; ALMEIDA, Wesley Marcos. Estatística Aplicada Usando Excel. Maringá: EDUEM, 2016.