Probabilidade

Quando se observa um experimento (ou fenômeno) procura-se enquadrá-lo em um modelo teórico e passa-se a analisar e testar o modelo ao qual se adapta o experimento (ou fenômeno).

Os modelos podem ser:

Modelos determinísticos: levam a resultados certos, invariáveis.

Exemplo 1: F = m . a (Lei de Newton)

Exemplo 2: Supondo que se tenha cinco livros para serem doados aos alunos, neste caso define-se pela nossa vontade a quais alunos serão destinados os livros, não havendo sorteio, o tipo do modelo a ser seguido é o determinístico.

Exemplo 3: Supondo que se vá à farmácia fazer o controle de qualidade, entretanto determinam-se os remédios a serem supervisionados. Neste caso, também, o modelo a ser seguido é o determinístico.

Modelos não-determinísticos ou probabilísticos: levam a possíveis resultados, sendo que os resultados dependem diretamente da regularidade estatística.

Exemplo:

Usando-se o exemplo 2, nosso procedimento ocorrerá por meio de um sorteio, com isto todos os alunos terão a mesma probabilidade de receber o livro, então, o tipo de modelo a ser seguido é o não determinístico ou probabilístico.

Experimento aleatório (E)

É o processo de coleta de dados relativo a um fenômeno que acusa variabilidade em seus resultados. O experimento é denominado pela letra maiúscula latina E.

Exemplos:

E1: o lançamento de um dado é observar a face voltada para cima.

E2: o lançamento e três moedas simultaneamente, observar as faces superiores.

E3: uma família possui três filhos, estudar quanto ao sexo.

E4: a altura dos alunos do INSTITUIÇÃO X .

E5: o peso dos alunos do INSTITUIÇÃO X.

Espaço amostral (S)

É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, deverá ser designado pela letra maiúscula latina S. Pode ser:

Discreto: Quando consiste em um número finito ou infinito e numerável de eventos.

Exemplos:

Dos experimentos E1, E2 e E3 serão os seguintes os espaços amostrais:

S1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

S2 = { ccc, cck, kcc, ckc, cck, ckk, kck, kkk }

S3 = { mmm, mmf, mfm, fmm, ffm, mff, fmf, fff }

• os experimentos E2 e E3 têm espaços amostrais de resultados análogos em termos probabilísticos.

• só ocorrerá o espaço amostral infinito e enumerável quando for representado pelos números naturais. S = N = { 0, 1, 2, ........ }

Contínuo: Quando consiste em todos os números reais de determinado intervalo.

Exemplo:

Usando como exemplos os experimentos acima E 4 e E 5.

Evento

É um subconjunto de um espaço amostral. Os eventos serão denotados pelas letras maiúsculas latinas, com exceção das letras E e S.

Exemplo:

Seja E = lançamento de um dado (observar a face voltada para cima)

Seja S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Sejam os eventos elaborados a partir de S:

A = ocorrer a face com número par

A = { 2, 4, 6 } --> n(A) = 3

B = ocorrer face com número menor que 3

B = { 1, 2 } --> n(B) = 2

C = ocorre face com número maior que 6

C = Ø --> n(C) = 0 *(este evento é denominado de evento incerto ou impossível, logo n(Ø) = 0)*

D = ocorre face com número de 1 a 6

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} --> n(D) = 6 *(este evento é denominado de evento certo, pois ocorreu todo o espaço amostral, então n(D)=n (S)=6)*

F = ocorre face com número ímpar

F = {1, 3, 5 } --> n(F) = 3

Em primeiro lugar deixa-se claro o que é um subconjunto. Aqui foram conduzidos para que elaborassem os eventos de forma abrangente, de modo que se possa utilizá-los nas operações dos eventos com os seus respectivos cálculos de probabilidade, já prevendo resultados análogos ao cálculo de probabilidade, usando propriedades. A quantidade de elaboração de eventos vai depender do nível de dificuldade para entender o que é um evento (subconjunto de S).

Probabilidade (P)

Definição clássica: relação do número de pontos do evento pelo número de pontos do espaço amostral.

Se A é o evento de interesse, a probabilidade de A, representada por P(A), é dada por:

Exemplo:

Experimento (E): Gênero dos alunos

Espaço amostral (S): 100 alunos

Amostra:

Qual a probabilidade de ser do gênero masculino

P(A) = n(A) / n(S) = 80 / 100 = 0,8 = 80,00%

Qual a probabilidade de ser do gênero feminino

P(B) = n(B) / n(S) = 20 / 100 = 0,2 = 20,00%

A unidade da linguagem percentual é muito importante para a leitura dos resultados estatísticos, pois é uma linguagem acessível a todo o grau de instrução.

Relacionamento entre eventos

A relação entre eventos parte da ideia de teoria de conjuntos.

Intersecção: o evento intersecção de dois eventos equivale a ocorrência de ambos

• Notação: AeB

União: a união de dois eventos equivale à ocorrência de um ou outro, ou ambos

• Notação: AouB

Negação (ou complementar): a negação do evento é denominado de evento complementar em relação ao espaço amostral

• Notação: ~A

Condição: a probabilidade de um evento é condicionado ao dado por outro evento

• Notação: A/B ou dado que, sabendo que, se

Para calcularmos a probabilidade condicional precisamos:

• ter a intersecção de A com B

• que tenham as seguintes informações no problema: dado que, sabendo-se que, verificando-se que, sempre exprimindo uma ideia de condição

• a condicional reduz sempre o espaço amostral à condição imposta

Exemplo:

Experimento (E): Observação da ocorrência de números

Espaço Amostral (S): { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Pede-se:

1. Probabilidade de ocorrer A e B (intersecção): P(A∩B) = n(AeB) / n(S) = 1/6 = 16,67%

2. Probabilidade de ocorrer A ou C (união): P(AUC) = n(AouC) / n(S) = 6/6 = 100,00%

3. Probabilidade de não ocorrer C (negação): P(~C) = n(~C) / n(S) = 3/6 = 50,00%

4. Probabilidade de ocorrer B sabendo que ocorreu A (condição): P(B/A) = n(B) / n(A) = 1/3 = 33,33%

Eventos Independentes

Os eventos são independentes quando a ocorrência de um não depende do outro. Então podemos dizer que dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando:

P(A/B) = P(A) ou P(A∩B) = P(A).P(B)

Referências: prof. Wesley Almeida, Escola de Negócios, PUCPR NUNES, Elvira Maria Alves; ALMEIDA, Wesley Marcos. Estatística Aplicada Usando Excel. Maringá: EDUEM, 2016.