O processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos é denominado estimação. Esses parâmetros são tais como média (Mi), variância (Sigma2), desvio-padrão (Sigma) e proporção populacional (p) e outros.
Neste processo de estimação, assume-se que alguma característica da população é desconhecida quando se observa por meio de uma amostra aleatória de n elementos desta variável e com base nos resultados da amostra fornecer um valor para o parâmetro da variável aleatória X, isto é, se teta é o parâmetro da variável aleatória X, os métodos de estimação nos fornecem uma estatística (teta estimado), baseando-se em n observações da variável aleatória X.
A teoria da estimação pode ser dividida em duas partes: a estimação por ponto e a estimação por intervalos.
Na estimação por pontos, o objetivo é usar a informação amostral e apriorística para se calcular um valor que seria, em certo sentido, a melhor avaliação quanto ao valor de fato do parâmetro em questão.
Na estimação por intervalo, usa-se a mesma informação, no entanto com objetivo de se produzir um intervalo que contenha o valor verdadeiro do parâmetro com algum nível de probabilidade.
Portanto, na estimação por ponto, o propósito seria calcular um valor que teria a melhor demonstração do parâmetro em questão. Entretanto, na estimação por intervalo, o propósito agora, seria calcular o intervalo que contenha o verdadeiro valor do parâmetro em questão.
Estimador e Estimativa
Estimadores são estatísticas relativas a amostras que levam a inferir sobre correspondentes parâmetros populacionais.
Exemplo: Deseja-se estimar a média (Mi), referente aos QIs dos acadêmicos que ingressaram em uma universidade, podia ser aplicado um teste de QI a uma ou mais amostras aleatórias desses acadêmicos e calculando a média ou médias amostrais seria estimada a média populacional dos QIs de todos os acadêmicos ingressantes naquela universidade, sendo portanto X um estimador de Mi.
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Uma estimativa é o valor que o estimador assume para uma dada amostra e, como já se mencionou, este valor pode ser obtido pontualmente ou por intervalo.
Por exemplo: No exemplo anterior X seria o estimador utilizado para a estimativa de Mi. |
Simbologia
Antes de entrarmos, especificamente, no cálculo das estimativas, vamos acumular os símbolos mais comuns envolvidos nas medidas estatísticas:
Estimação Pontual
Uma estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. Neste sentido, a melhor estimativa pontual da média populacional (Mi) é a média amostral (X), assim como a melhor estimativa da proporção populacional p é a proporção amostral p~.
Para saber como calcular as medidas amostrais, consulte Medidas Descritivas
No entanto, não é comum assumir que a medida da amostra reflete, totalmente, o comportamento da população. Para tanto, existem estimativas intervalares.
Estimação por intervalo
Se, no entanto, retirarem outras amostras de tamanho n, da mesma população, obtendo-se outros valores para X que, logicamente, serão diferentes do primeiro, isto é, X é uma variável aleatória, pois para cada amostra de tamanho n se terá uma estimativa de Mi diferente. Assim sendo, uma solução conveniente para a estimação de Mi será a apuração de um intervalo de valores para X que dê uma ideia mais precisa do verdadeiro valor da média populacional Mi. Esta segunda maneira de estimar parâmetros é denominada de estimativa por intervalo.
Um intervalo desse tipo pode ser construído em termos de probabilidade e receber o nome de intervalo de confiança, pois o verdadeiro valor do parâmetro que está sendo estimado estará compreendido entre dois valores extremos.
Por exemplo, a média verdadeira Mi do QI da população daqueles acadêmicos deverá estar situada entre dois valores extremos A e B com a probabilidade de certeza pré-estabelecida. Esse grau de certeza é denominado de nível de confiança. Há probabilidade de afirmar-se que um parâmetro Mi se encontra dentro de certo intervalo de confiança, quando na realidade não se encontra, será denominado de nível de significância ou erro que se comete.
que se lê: a probabilidade do intervalo A |—| B conter o verdadeiro valor de é igual a 95%, ou seja, se fossem retiradas 100 amostras aleatórias de uma mesma população, 95 delas provavelmente revelariam média amostral dentro do intervalo A |—| B.
Intervalo de Confiança
As distribuições amostrais de certas estatísticas são normais (envolvem variável contínua, com valores próximos para média, mediana e moda). Acrescente-se a isso que quando uma amostra é suficientemente grande (n>30) sua distribuição é também aproximadamente normal. Assim sendo, os valores amostrais ocorrem da seguinte maneira:
- 68% dos valores amostrais ocorrem entre Média +ou- 1 Desvio-padrão - 95% dos valores amostrais ocorrem entre Média +ou- 2 Desvios-padrão - 99,7% dos valores amostrais ocorrem entre Média +ou- 3 Desvios-padrão
Desse modo, toda estimativa por intervalo tem a seguinte forma: Parâmetro = estatística amostral +ou- erro-padrão da estimativa, em que o erro-padrão da estimativa é uma função do nível de confiança, tamanho da amostra e o desvio-padrão.
Em que: (1-α): Confiabilidade α: Significância (ou Risco) LIC: Limite Inferior de Confiança LSC: Limite Superior de Confiança e0: Erro-padrão da estimativa (ou margem de erro)
Alguns conceitos que se devem destacar:
o intervalo de confiança é o conjunto de valores entre dois extremos;
os limites de confiança são os valores extremos do intervalo de confiança;
o nível de confiança (1–α) é a probabilidade ou percentagem de certeza estabelecida.
os níveis habitualmente escolhidos são: 0,90; 0,95 e 0,99 (sendo o mais comum de 0,95 para área de Sociais Aplicadas). Quanto maior for o nível de confiança, maior a probabilidade do intervalo conter o parâmetro teta.
O nível de confiança deve ser estabelecido pelo pesquisador, levando em conta as consequências práticas de cometer um erro;
nível de significância (α) é a margem de erro admissível ou probabilidade de que o intervalo não contenha o parâmetro teta. Pode-se dizer que (α) é o complemento do nível de confiança, ou seja, sendo o nível de significância α=0,05 então (1-α)=0,95 é a confiança;
coeficiente de confiança ou valores críticos (Ztab = +ou- Zα/2). Os valores de Z aos quais corresponde o nível de confiança estabelecido pelo pesquisador (Tabela da Curva Normal Reduzida) ou valores de Z que correspondem aos valores limites do intervalo de confiança;
apuração do coeficiente de confiança Ztab = +ou- Zα/2 (ver Tabela da curva normal reduzida);
Dado que os valores amostrais têm distribuição normal é fácil determinar os valores de Ztab correspondentes aos vários níveis de confiança.